Chapter 04

결함 밀도와 수율 모델

수사에는 기준선이 필요하다. 평소에 얼마나 잃는 것이 정상인지 모르면 오늘의 손실이 사건인지 아닌지도 알 수 없다. 수율 모델은 그 기준선이다. 다이 면적과 결함 밀도라는 두 숫자에서 "무작위 결함만 있다면 이만큼은 죽는다"를 계산해 준다. 실제 수율이 그 값과 맞으면 범인은 청정도이고, 맞지 않으면 모델이 설명하지 못하는 다른 무언가가 있다. 이 장은 모델을 유도하고, 모델이 틀리는 이유(결함은 뭉친다)를 보고, 측정한 수율에서 무작위 손실과 계통 손실을 갈라내는 법을 다룬다.

푸아송 수율 모델 $Y = e^{-AD_0}$를 유도하고 가정 두 가지를 말한다.
결함의 군집이 왜 수율을 올리는지 설명하고, 머피·시즈·음이항 모델을 결함 밀도 분포의 차이로 구분한다.
측정한 수율에서 $D_0$를 역산하고, 윈도 방법으로 $D_0$·$\alpha$·$Y_{sys}$를 추정한다.
수율을 계통 수율과 무작위 수율의 곱으로 나누고, 어느 쪽이 변했는지 판단한다.
층별 결함 밀도와 임계 면적으로 제한 수율을 계산한다.

푸아송 모델: 결함이 하나도 없을 확률

3장에서 결함을 둘로 나눴다. 떨어진 자리와 크기 때문에 회로를 죽이는 치명 결함(Killer defect)과, 있어도 동작에 지장이 없는 무해 결함이다. 수율 모델이 세는 것은 치명 결함뿐이다. 웨이퍼 단위 면적당 치명 결함의 평균 개수를 결함 밀도(Defect density) $D_0$라 하고, 단위는 개/cm²다. 다이 면적이 $A$이면 다이 하나에 떨어지는 치명 결함의 평균 개수는

$$\lambda = A\,D_0$$

$\lambda$는 차원이 없는 수다. 사건 YB-12의 다이는 0.52 cm²이므로 $D_0$ = 0.25개/cm²이면 $\lambda$ = 0.13이다. 다이 여덟 개에 치명 결함이 하나꼴이다.

다이가 양품이려면 치명 결함이 하나도 없어야 한다. 평균이 $\lambda$일 때 0개일 확률을 구하면 된다. 다이를 아주 작은 칸 $N$개로 나눈다. 칸이 충분히 작으면 한 칸에 결함이 둘 이상 올 일은 없고, 한 칸에 결함이 있을 확률은 $\lambda/N$이다. 결함이 서로 무관하게 떨어진다면 모든 칸이 비어 있을 확률은 각 칸이 빌 확률의 곱이다.

$$Y = \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N} = e^{-\lambda} = e^{-A D_0}$$

이것이 푸아송 수율 모델이다. 같은 계산을 결함 $k$개에 대해 하면 푸아송 분포 $P(k) = \lambda^k e^{-\lambda}/k!$가 나온다. 수율은 그 첫 항 $P(0)$이다.

푸아송 모델의 뼈대. 결함이 하나든 셋이든 다이는 똑같이 한 번 죽는다. 그래서 수율은 결함 수 분포의 첫 막대 하나로 정해진다. 결함이 한 다이에 겹쳐 떨어질수록 낭비되는 결함이 늘고, 그만큼 다른 다이가 산다. 이 사실이 뒤에서 군집 이야기의 출발점이 된다.

유도에 쓴 가정은 둘이다. 첫째, 결함은 서로 독립이다. 한 결함이 떨어진 자리가 다음 결함의 자리에 영향을 주지 않는다. 둘째, 결함 밀도는 웨이퍼 어디서나, 어느 웨이퍼에서나 같다. 두 가정이 모두 성립하면 불량 다이는 맵 위에 고르게 흩어진다(3장의 무작위 불량). 식에서 곧바로 읽을 수 있는 것도 둘이다.

수율은 면적에 지수로 떨어진다. 다이 면적을 두 배로 키우면 수율은 제곱이 된다. 88%이던 것이 77%가 된다. 1장에서 본 "큰 다이의 이중 벌점"의 한쪽이 이것이다.
수율이 높을 때는 손실이 $\lambda$에 비례한다. $\lambda \ll 1$이면 $1 - Y \approx \lambda$다. 결함 밀도를 10% 줄이면 손실도 약 10% 준다.

D₀는 검사 장비가 센 결함 수가 아니다검사 장비가 내놓는 결함 밀도에는 무해 결함과 뉴슨스(5장)가 섞여 있고, 반대로 장비가 놓친 결함은 빠져 있다. 수율 모델의 $D_0$는 "다이를 죽이는" 결함의 밀도다. 둘을 잇는 것이 치명률이다(7장). 그래도 두 값은 함께 움직인다. 검사 결함 밀도가 10% 늘었는데 모델의 $D_0$가 두 배가 되어야 수율이 설명된다면, 무언가 맞지 않는 것이다. 이 장의 사건 파일이 바로 그 논리를 쓴다.

결함은 뭉친다: 푸아송이 비관적인 이유

푸아송 모델은 작은 다이에서는 잘 맞는다. 그런데 다이가 커지면 실제 수율이 모델보다 눈에 띄게 높게 나온다. 1960년대에 집적 회로가 커지기 시작하면서 일찍부터 알려진 사실이다. 푸아송 모델대로라면 $\lambda$ = 4인 큰 칩의 수율은 1.8%여야 하는데 실제로는 그 몇 배가 나왔다. 틀린 것은 두 번째 가정이다. 결함 밀도는 어디서나 같지 않다.

파티클은 한 번에 여러 개가 떨어진다. 장비 벽에서 떨어진 박편은 부서지며 한 구역에 흩어지고, 어떤 웨이퍼는 다른 웨이퍼보다 더럽고, 웨이퍼 가장자리는 중심보다 결함이 많다. 이렇게 결함이 공간이나 웨이퍼, 로트에 따라 몰리는 것을 군집(Clustering)이라 한다. 결함의 총수가 같다면 군집은 수율을 올린다. 이미 죽은 다이에 결함이 더 떨어져 봐야 잃을 것이 없기 때문이다.

군집은 결함을 낭비한다. 왼쪽은 결함 12개가 다이 9개를 죽였고, 오른쪽은 같은 12개가 다이 4개만 죽였다. 수율을 정하는 것은 평균 결함 수가 아니라 결함 수의 분포, 그중에서도 0개인 다이의 비율이다.

결함 밀도 자체가 확률 변수다

군집을 모델에 넣는 표준적인 방법은 결함 밀도 $D$를 고정된 값이 아니라 분포 $f(D)$를 가진 변수로 보는 것이다. 다이(또는 구역, 웨이퍼)마다 $D$가 다르고, 주어진 $D$에서는 푸아송 모델이 성립한다고 본다. 수율은 그 평균이다.

$$Y = \int_0^{\infty} e^{-A D}\, f(D)\, dD, \qquad \int_0^\infty D\, f(D)\, dD = D_0$$

머피(1964)가 제안한 형태다. $f(D)$가 $D_0$에 선 뾰족한 막대(델타 함수)이면 푸아송 모델로 돌아간다. $e^{-AD}$는 아래로 볼록한 함수이므로 평균이 같은 한 $D$가 넓게 퍼질수록 적분값은 커진다(젠센 부등식). 군집이 수율을 올린다는 말의 수학적 표현이다.

$f(D)$를 무엇으로 잡느냐에 따라 이름이 다른 모델이 나온다.

모델은 결함 밀도 분포의 가정이다. 네 그림 모두 평균은 $D_0$로 같다. 분포가 넓을수록, 특히 0 근처(결함이 거의 없는 깨끗한 구역)의 몫이 클수록 수율이 높게 나온다.

머피 모델(Murphy)은 종 모양 분포를 계산하기 쉬운 삼각형으로 바꿔 넣은 것이다. 시즈 모델(Seeds)은 지수 분포를 넣는다. 깨끗한 구역이 가장 흔하고 아주 더러운 구역이 드물게 있다는 가정으로, 군집이 강한 경우에 해당한다. 가장 널리 쓰이는 것은 스테이퍼(1973)가 정리한 음이항 모델(Negative binomial)이다. $f(D)$를 감마 분포로 잡는다.

$$f(D) = \frac{D^{\alpha-1}e^{-D/\beta}}{\Gamma(\alpha)\,\beta^{\alpha}},\quad \alpha\beta = D_0 \quad\Longrightarrow\quad Y = \left(1+\frac{A D_0}{\alpha}\right)^{-\alpha}$$

$\alpha$는 군집 계수(Cluster parameter)다. 감마 분포의 분산은 $D_0^2/\alpha$이므로 $\alpha$가 작을수록 밀도가 넓게 퍼진다(군집이 강하다). 이때 다이당 결함 수는 음이항 분포를 따르고 분산은 $\lambda(1+\lambda/\alpha)$로, 푸아송의 분산 $\lambda$보다 크다.

음이항 모델이 표준이 된 이유는 $\alpha$ 하나로 나머지 모델을 거의 다 흉내 낼 수 있기 때문이다. $\alpha \to \infty$이면 푸아송, $\alpha = 1$이면 정확히 시즈 모델이고, $\alpha$가 약 4~5이면 머피 모델과 거의 겹친다. 공개된 자료에서 $\alpha$는 대략 0.3~5 범위로 보고되며, 값을 모를 때의 관례적 출발점은 약 2다. $\alpha$는 공정과 제품, 그리고 뒤에서 보듯 군집의 크기와 다이 크기의 관계에 따라 달라지는 경험 상수다.

SIMULATOR

군집 실험: 같은 결함 수, 다른 수율

결함이 1개 이상인 다이막대: 실제 다이 비율푸아송 예측음이항 예측

다이당 평균 결함 수 λ 군집 계수 α 군집 구역의 한 변 결함 위치 표시

치명 결함 수 (다이 위)—

실제 수율—

푸아송 예측—

음이항 예측 (설정한 α)—

결함 수의 분산 / 평균—

분산에서 추정한 α—

해볼 것: ① "균일하게"와 "뭉쳐서"를 번갈아 누른다. 평균 결함 수는 같은데 뭉치면 수율이 오른다. 균일할 때 막대는 푸아송 점과 겹치고, 뭉치면 0개 막대와 여러 개 막대가 함께 커진다. ② λ를 3까지 올린다. 푸아송 예측은 5%로 떨어지지만 α = 1로 뭉친 웨이퍼는 20%를 넘게 남는다. 큰 다이에서 모델 선택이 중요한 이유다. λ를 0.1로 내리면 두 예측의 차이는 1%p도 안 된다. ③ α를 0.2까지 내리면 웨이퍼 대부분이 깨끗하고 몇 구역만 새까맣다. 20까지 올리면 균일한 경우와 구별되지 않는다. ④ 군집 구역을 5 mm로 줄인다. 구역이 다이(6.5 × 8 mm)보다 작아지면 한 다이가 여러 구역을 평균하므로, 설정한 α와 상관없이 다이 수준에서는 푸아송에 가까워지고 추정 α가 커진다. 120 mm로 키우면 "새 웨이퍼"를 누를 때마다 수율이 크게 출렁인다. 군집이 웨이퍼 크기에 가까우면 웨이퍼 간 편차가 된다. (모델: 웨이퍼를 정사각형 구역으로 나누고 구역마다 결함 밀도를 평균이 같은 감마 분포에서 뽑은 뒤 그 안에 결함을 고르게 뿌린다. 점 하나가 치명 결함 하나다. 실제 군집은 경계가 네모나지 않다.)

α는 물리 상수가 아니다시뮬레이터의 ④가 보여 주듯 같은 결함 분포라도 다이가 군집보다 훨씬 크면 군집 안팎이 한 다이 안에서 평균되어 $\alpha$가 커 보인다. 군집의 크기가 다이보다 클 때(대면적 군집) 음이항 모델이 가장 잘 맞고, 이때 $\alpha$는 다이 면적에 거의 무관하다. 한 제품에서 구한 $\alpha$를 다이 크기가 아주 다른 제품에 그대로 옮기는 것은 조심해야 한다.

모델 비교: 어디서 갈라지는가

네 모델은 모두 $\lambda = AD_0$ 하나의 함수다. $\lambda$가 작을 때는 어느 모델이든 $Y \approx 1 - \lambda$로 같다. 갈라지는 것은 $\lambda$가 1을 넘어가는 큰 다이, 또는 결함 밀도가 높은 개발 초기다.

모델	밀도 분포 f(D)	수율 식	λ = 0.5	λ = 1	λ = 2	λ = 4
푸아송 Poisson	한 값(델타)	$e^{-\lambda}$	60.7%	36.8%	13.5%	1.8%
머피 Murphy	삼각	$\left(\dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}\right)^{2}$	61.9%	40.0%	18.7%	6.0%
음이항 α = 2 Negative binomial	감마	$\left(1+\dfrac{\lambda}{\alpha}\right)^{-\alpha}$	64.0%	44.4%	25.0%	11.1%
시즈 Seeds	지수 (감마 α = 1)	$\dfrac{1}{1+\lambda}$	66.7%	50.0%	33.3%	20.0%

$\lambda$ = 0.5에서는 가장 비관적인 모델과 가장 낙관적인 모델의 차이가 6%p다. $\lambda$ = 4에서는 열 배가 넘게 벌어진다. 푸아송 모델로 큰 칩의 수율을 예측하면 실제보다 훨씬 나쁘게 나오고, 반대로 큰 칩의 수율에서 푸아송 모델로 $D_0$를 역산하면 실제보다 좋게(작게) 나온다.

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수율 모델 비교

푸아송머피시즈음이항(α)

다이 면적 A 결함 밀도 D₀ 군집 계수 α 수율을 로그 축으로

λ = A·D₀—

푸아송—

머피—

음이항—

시즈—

최고 − 최저—

해볼 것: ① 기본값은 사건 YB-12의 다이(0.52 cm², D₀ = 0.25)다. 네 모델이 모두 88% 안팎으로 1%p 안에 모여 있다. 이 크기에서는 어느 모델을 써도 된다. ② 다이 면적을 6 cm²로 키운다. 푸아송은 22%, 시즈는 40%다. 같은 공장, 같은 청정도인데 모델에 따라 예측이 두 배 가까이 다르다. ③ α를 20으로 올리면 음이항 곡선이 푸아송에 붙고, 1로 내리면 시즈와 정확히 겹쳐 한 줄로 보이며, 4~5에서는 머피와 겹친다. ④ "로그 축"을 켠다. 푸아송만 직선이고 나머지는 위로 휜다. 뒤의 윈도 방법은 이 휨을 읽는 방법이다. (곡선은 식 그대로이며 근사가 없다. 어느 곡선이 맞는지는 데이터가 정한다.)

모델을 고르는 기준은 이론이 아니라 데이터다. 같은 공정에서 크기가 다른 다이의 수율을 여럿 모아 곡선에 올려 보고 가장 잘 지나가는 모델과 $\alpha$를 쓴다. 제품이 하나뿐이라 크기가 다른 다이가 없으면 어떻게 하는가. 다음 절의 윈도 방법이 그 답이다.

D₀ 추정: 수율에서 거꾸로

$D_0$는 직접 재는 값이 아니라 수율에서 역산하는 값이다. 모델을 뒤집으면 된다.

$$D_0 = -\frac{\ln Y}{A}\ \ (\text{푸아송}), \qquad D_0 = \frac{\alpha\left(Y^{-1/\alpha}-1\right)}{A}\ \ (\text{음이항})$$

다이 0.52 cm², 수율 88%이면 푸아송으로 $D_0$ = 0.246, 음이항($\alpha$ = 2)으로 0.254, 시즈로 0.262개/cm²다. 수율이 높으면 모델에 따른 차이가 작다.

이렇게 구한 값은 "무작위 결함만 있다고 가정했을 때의" 결함 밀도다. 수율 손실에 계통 불량이 섞여 있으면 그 몫까지 $D_0$에 얹혀 과대평가된다. 또 수율 한 점에서는 $D_0$ 하나밖에 구할 수 없다. $\alpha$와 계통 손실까지 알려면 면적이 다른 수율이 여러 점 필요하다.

윈도 방법: 다이를 묶어 큰 다이를 만든다

윈도 방법(Window method)은 웨이퍼 맵 한 장에서 면적–수율 곡선을 얻는 방법이다. 이웃한 다이를 2개, 4개, 8개씩 묶어 가상의 큰 다이로 본다. 묶음 안의 다이가 모두 양품일 때만 그 묶음을 양품으로 센다. 묶음의 면적은 다이 면적의 배수이므로, 묶음 크기를 바꿔 가며 수율을 구하면 면적에 따른 수율 점이 여러 개 생긴다.

윈도 방법. 굵은 선이 묶음의 경계다. 불량이 고르게 흩어져 있으면 묶음 수율은 $Y_1^{\,n}$으로 떨어진다(81% → 66% → 43%). 불량이 이웃끼리 붙어 있으면 한 묶음에 함께 들어가 그보다 높게 나온다. 이 그림의 50%가 그렇다. 다이 16개로는 숫자가 거칠고, 실제로는 웨이퍼 여러 장으로 한다.

묶음 수율의 로그를 면적에 대해 그린다. 읽을 것은 세 가지다.

면적–수율 그래프의 세 가지 정보. 기울기는 결함 밀도, 휨은 군집, 면적 0으로 외삽한 절편은 면적과 무관하게 잃는 몫이다. 면적이 0인 다이는 무작위 결함에 맞을 수 없으므로, 그래도 남는 손실은 무작위 결함의 것이 아니다.

$$Y(nA) = Y_0\left(1+\frac{nA\,D_0}{\alpha}\right)^{-\alpha}$$

$n$은 묶은 다이 수, $Y_0$는 면적 0으로 외삽한 수율이다. 점들에 이 식을 맞춰 $Y_0$, $D_0$, $\alpha$ 세 값을 구한다. $\alpha$가 크면 $\ln Y = \ln Y_0 - nAD_0$인 직선이 된다.

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윈도 방법

불량 다이불량 묶음에 든 양품 다이측정한 묶음 수율직선 맞춤음이항 맞춤참값

결함 밀도 D₀

군집

죽은 구역 (계통 손실)

맵에 표시할 묶음

웨이퍼 수

다이 수율 (1×1)—

표시한 묶음의 수율—

직선 맞춤: 절편 Y₀ / D₀—

음이항 맞춤: Y₀ / D₀ / α—

참값: Y_sys / D₀ / α—

해볼 것: ① 기본값(군집 없음, 죽은 구역 없음)에서 점들은 원점을 지나는 직선 위에 놓인다. 직선 맞춤의 절편은 약 100%, 기울기는 설정한 D₀에 가깝다. "1장"으로 바꾸고 "새 로트"를 여러 번 누르면 4×4 점이 크게 흔들린다. 큰 묶음은 개수가 적어서다. ② 죽은 구역을 "약 10%"로 한다. 직선이 기울기는 그대로인 채 아래로 내려앉고 절편이 약 90%가 된다. 이 절편이 Y_sys다. ③ 죽은 구역을 없애고 군집을 "α = 0.5"로 한다. 점들이 위로 휜다. 여기에 직선을 억지로 맞추면 절편이 100%보다 낮게 나온다. 계통 손실이 없는데도 있는 것처럼 보인다. 군집을 무시하면 군집을 계통 손실로 오해한다. ④ 군집과 죽은 구역을 함께 켜면 음이항 맞춤의 Y₀와 α가 로트마다 엇갈려 흔들린다. 점 다섯 개로 세 값을 맞추므로 "휨"과 "절편"이 서로를 대신할 수 있다. 25장으로 늘려야 가라앉는다. (모델: 사건 YB-12의 웨이퍼. 묶음은 4 × 4 샷 안에서만 만들고 가장자리의 불완전한 샷은 뺀다(회색). 죽은 구역은 샷 단위로 통째로 죽인 것이어서 어떤 묶음 크기에서도 같은 비율을 차지한다. 실제의 죽은 구역은 경계에 걸친 묶음 때문에 절편이 조금 흐려진다. 군집 구역은 40 mm.)

윈도 방법이 보지 못하는 계통 손실절편으로 드러나는 것은 넓은 구역이 통째로 죽는 손실뿐이다. 계통 불량이 다이 하나 크기로 여기저기 흩어져 있으면(예를 들어 일정한 간격으로 다이 하나씩) 묶음을 키울 때마다 무작위 불량과 똑같이 묶음을 하나씩 죽이므로 기울기에 섞여 $D_0$로 계산된다. 윈도 방법이 "계통 손실 없음"이라고 해도 계통 불량이 없다는 뜻은 아니다. 그런 무늬는 맵을 직접 보아야 잡힌다(9장, 10장).

계통 수율과 무작위 수율

윈도 방법의 식을 다시 보면 수율이 두 인수의 곱이다. 이 분리가 수율 분석의 가장 기본적인 틀이다.

$$Y = Y_{sys}\cdot Y_{rand}, \qquad Y_{rand} = \left(1+\frac{A D_0}{\alpha}\right)^{-\alpha}\ \text{또는}\ e^{-AD_0}$$

$Y_{rand}$는 무작위 수율(Random yield): 무작위 치명 결함을 피할 확률. $Y_{sys}$는 계통 수율(Systematic yield): 결함 밀도와 무관하게 정해지는 몫. 책에 따라 $Y_0$, 총 수율(Gross yield), 면적 이용률이라고도 쓴다.

$Y_{sys}$에 들어가는 것은 다이 면적을 줄여도 나아지지 않는 손실이다. 공정 조건이 규격을 벗어난 구역(가장자리의 막 두께, 식각 깊이), 설계와 공정의 궁합이 나쁜 특정 패턴, 마스크의 문제, 공정 창이 좁아 생기는 파라메트릭 불량 등이다. 3장에서 본 계통 불량이 모두 여기에 든다.

	무작위 수율 Y_rand	계통 수율 Y_sys
원인	파티클 등 무작위 치명 결함	공정 불균일, 설계–공정 상호작용, 마스크, 장비 이상
다이 면적 의존	면적에 지수적으로 감소	면적과 거의 무관
맵에서의 모습	고르게 흩어짐(군집이 있으면 얼룩)	무늬(9장)
웨이퍼 간 재현	웨이퍼마다 자리가 다르다	같은 자리에 반복된다
개선 수단	청정도, 장비 세정, 필터, 검사로 원인 장비 추적	공정 조건 중심 맞추기, 설계 규칙 수정, 장비 수리
지배하는 시기	성숙기(바닥 수준의 손실)	개발·램프 초기, 그리고 이상 발생 때

이 분리가 수사에 쓸모 있는 이유는 "무엇이 변했는가"를 묻게 해 주기 때문이다. 수율이 떨어졌을 때 가능한 설명은 둘이다. $D_0$가 올랐거나 $Y_{sys}$가 내렸다. 두 설명은 서로 다른 것을 예측한다. $D_0$가 올랐다면 인라인 검사의 결함 수가 함께 올라야 하고, 맵은 전체가 고르게 나빠져야 하며, 다이가 큰 제품이 더 크게 다쳐야 한다. $Y_{sys}$가 내렸다면 검사 결함 수는 그대로일 수 있고, 맵에 무늬가 있어야 하며, 손실은 다이 크기와 무관하다. 수율 숫자 하나만으로는 둘을 가를 수 없지만, 다른 증거 하나만 더 있으면 가를 수 있다.

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사건 계산기: 88%와 78%를 만드는 두 가지 길

수율 88%가 되는 조합수율 78%가 되는 조합인라인 검사와 맞는 D₀ (평소 ~ +10%)

무작위 결함 밀도 D₀ 계통 수율 Y_sys

Y_rand = e^−AD₀—

수율 Y = Y_sys · Y_rand—

웨이퍼당 양품 (1,228개 중)—

평소 대비 로트(25장) 손실—

D₀ / 평소 D₀—

이 D₀에서 78%가 되려면 Y_sys—

인라인 검사 기록과 맞는가—

해볼 것: ① "평소"는 Y_sys = 100%, D₀ = 0.25로 수율 약 88%다. 점이 초록 곡선 위에 있다. ② "가설 A"를 누른다. 계통 손실 없이 78%를 만들려면 D₀가 0.48, 평소의 약 1.9배여야 한다. 점이 색칠한 띠에서 멀리 벗어난다. ③ "가설 B"를 누른다. D₀는 검사 기록대로 10%만 올리고(0.275) 나머지를 Y_sys로 설명하면 약 90%가 필요하다. D₀가 전혀 늘지 않았다고 보면 약 89%다. ④ 슬라이더로 빨간 곡선을 따라 움직여 보자. 78%를 만드는 조합은 무수히 많다. 수율 한 숫자는 곡선 하나를 줄 뿐이고, 그 위의 어느 점인지는 인라인 검사라는 두 번째 증거가 정한다. (다이 0.52 cm², 푸아송 모델. 이 수율 범위에서는 음이항 모델을 써도 결론이 같다. 띠의 폭은 사건의 설정이다.)

층별 결함 밀도와 제한 수율

지금까지 $D_0$를 칩 전체에 대한 숫자 하나로 다뤘다. 실제로는 층마다, 결함 종류마다 따로 있다. 게이트 층의 파티클과 금속 1층의 파티클은 다른 장비에서 오고, 죽이는 회로도 다르다. 또 3장에서 보았듯 다이 전체 면적이 결함에 취약한 것이 아니라 임계 면적(Critical area) $A_c$만 취약하다. 배선이 듬성한 층은 다이 면적의 일부만 임계 면적이다. 층 $i$에서 결함이 죽이지 못할 확률은 $e^{-A_{c,i}D_i}$이고, 층들이 서로 독립이라면 전체 수율은 그 곱이다.

$$Y_{rand} = \prod_i Y_i = \prod_i e^{-A_{c,i}\,D_i} = \exp\!\Big(-\sum_i A_{c,i}\,D_i\Big)$$

$A_{c,i}$는 층 $i$의 평균 임계 면적, $D_i$는 그 층의 결함 밀도. 각 인수 $Y_i$가 그 층의 제한 수율(Limited yield)이다. 칩 전체의 유효 결함 밀도는 $D_0 = \sum_i A_{c,i}D_i / A$로, 층별 값을 임계 면적으로 가중해 더한 것이다.

제한 수율은 "다른 손실이 하나도 없고 이 층(또는 이 결함 종류)만 있다면 수율이 얼마인가"다. 전체 수율은 제한 수율들의 곱이므로, 제한 수율이 가장 낮은 항목이 수율을 가장 많이 깎고 있는 항목이다. 아래는 사건 YB-12 제품의 평소 수율 88%를 층별로 나눠 본 가상의 예다. 숫자는 설명을 위한 것이며 실제 제품의 값이 아니다.

층	결함 밀도 D_i (개/cm²)	임계 면적 비율 A_c/A	λ_i = A_cD_i	제한 수율
소자 분리(STI)	0.10	0.15	0.008	99.2%
게이트	0.12	0.30	0.019	98.1%
콘택	0.15	0.25	0.020	98.1%
금속 1층(M1)	0.22	0.40	0.046	95.5%
비아 1	0.15	0.20	0.016	98.5%
금속 2층 이상	0.15	0.30	0.023	97.7%
합계			0.131	약 88%

표에서 읽을 것은 두 가지다. 첫째, 어느 층도 혼자서는 2~5%밖에 잃지 않는데 곱하면 12%가 된다. 수율은 곱셈이다(1장). 둘째, 가장 좁은 간격으로 가장 빽빽하게 배선하는 M1이 임계 면적도 크고 손실도 가장 크다. M1의 결함 밀도를 절반으로 줄이면 제한 수율이 95.5%에서 97.7%로 오르고 전체 수율은 약 88%에서 약 90%가 된다. 다른 층을 같은 비율로 개선하는 것보다 효과가 크다. 어떤 결함부터 잡을지를 정하는 이 계산은 7장의 파레토와 14장의 수율 학습에서 다시 쓴다.

임계 면적은 설계가 정한다같은 공장, 같은 $D_i$라도 제품마다 수율이 다른 한 가지 이유다. 배선 간격을 최소 규칙보다 조금 넓히거나 비아를 두 개씩 놓으면 임계 면적이 줄어 같은 청정도에서 수율이 오른다. 이것이 제조를 고려한 설계(DFM)의 한 갈래다. 미세화는 반대로 작용한다. 선폭과 간격이 줄면 더 작은 결함까지 치명 결함이 되고, 작은 결함일수록 훨씬 많으므로 유효 $D_0$가 오른다.

모델이 말해 주는 것과 말해 주지 못하는 것수율 모델은 손실의 크기를 기준선과 비교하게 해 준다. 무작위 결함으로 설명되는 몫이 얼마이고 설명되지 않는 몫이 얼마인지를 가른다. 말해 주지 못하는 것은 설명되지 않는 몫의 정체다. $Y_{sys}$가 0.89라는 숫자에는 어느 공정이, 웨이퍼의 어디에서, 몇 번째 층을 망쳤는지가 들어 있지 않다. 그것은 검사 영상과 맵이 말해 준다. 다음 장부터가 그 이야기다.

CASE YB-12사건 파일 · 4장

결함이 두 배가 되었어야 한다

평소 수율 약 88%에 푸아송 모델을 적용하면 $D_0 = -\ln 0.88 / 0.52 \approx 0.25$개/cm²다. 이 제품의 기준선이다. 문제의 로트는 약 78%다. 이것을 무작위 결함만으로 설명하려면 $D_0 = -\ln 0.78 / 0.52 \approx 0.48$, 평소의 거의 두 배가 필요하다. 음이항 모델로 바꿔도 결론은 같다.

그런데 이 로트의 인라인 검사 기록에서 결함 밀도는 평소보다 약 10% 늘었을 뿐이다. 10% 증가가 설명하는 손실은 약 1%p다. 나머지는 무작위 결함의 것이 아니다. $Y = Y_{sys}\cdot Y_{rand}$로 나누면 $Y_{rand}$는 평소와 거의 같은 0.88이고 $Y_{sys} \approx 0.78 / 0.88 \approx 0.89$다. 평소에는 1에 가깝던 계통 수율이 이 로트에서 약 11% 깎였다.

얻은 단서손실은 무작위 결함의 증가가 아니라 계통 손실이다(Y_sys ≈ 0.89). 청정도 문제로 보고 파티클 원인을 찾는 수사는 방향이 틀렸다.

아직 모르는 것계통 손실의 정체. 원인이 하나인지 여럿인지, 웨이퍼의 어디인지, 어느 층인지. 숫자 하나에는 지리가 없다.

다음 단계인라인 검사 기록을 숫자가 아니라 좌표로 다시 본다. 결함 수가 정상이어도 결함의 자리는 정상이 아닐 수 있다(5장).

핵심 정리

다이당 평균 치명 결함 수는 $\lambda = AD_0$다. 결함이 독립이고 밀도가 균일하면 수율은 결함이 0개일 확률 $Y = e^{-AD_0}$(푸아송 모델)이다.
실제 결함은 뭉친다. 평균이 같으면 군집은 결함을 이미 죽은 다이에 낭비하므로 수율을 올린다. 푸아송 모델은 큰 다이에서 비관적이다.
결함 밀도를 분포 $f(D)$로 보면 삼각 분포는 머피, 지수 분포는 시즈, 감마 분포는 음이항 모델 $Y = (1 + AD_0/\alpha)^{-\alpha}$이 된다. 군집 계수 $\alpha$가 작을수록 군집이 강하고, $\alpha \to \infty$이면 푸아송, $\alpha = 1$이면 시즈다.
$\lambda$가 작으면 모든 모델이 $Y \approx 1 - \lambda$로 같다. 모델 선택은 $\lambda$가 1을 넘는 큰 다이에서 중요하다.
$D_0$는 수율에서 역산한다. 윈도 방법은 다이를 묶어 면적–수율 곡선을 만들며, 기울기에서 $D_0$, 휨에서 $\alpha$, 절편에서 $Y_{sys}$를 읽는다. 군집을 무시하고 직선을 맞추면 군집을 계통 손실로 오해한다.
$Y = Y_{sys}\cdot Y_{rand}$. 수율이 떨어졌을 때 $D_0$가 오른 것인지 $Y_{sys}$가 내린 것인지는 수율 숫자만으로는 알 수 없고, 인라인 결함 밀도나 맵 같은 두 번째 증거가 가른다.
층별로는 $Y_{rand} = \prod_i e^{-A_{c,i}D_i}$다. 각 인수가 그 층의 제한 수율이고, 가장 낮은 제한 수율이 개선의 첫 대상이다.

확인 퀴즈

결함 밀도가 0.5개/cm²인 공정에서 다이 면적을 1 cm²에서 2 cm²로 키웠다. 푸아송 모델로 수율은 어떻게 되는가?

$\lambda$가 0.5에서 1로 두 배가 된다. $e^{-0.5} \approx 0.61$, $e^{-1} \approx 0.37 = 0.61^2$. 면적이 두 배면 수율은 제곱이 된다. 웨이퍼당 다이 수도 절반 가까이 줄므로 양품 수는 두 번 깎인다.

평균 결함 밀도가 같을 때, 결함이 뭉쳐 있으면 균일할 때보다 수율이 높은 이유는?

수율은 결함이 0개인 다이의 비율이다. 결함의 총수가 같으면, 일부 다이에 몰릴수록 나머지 다이는 깨끗하다. 수식으로는 $e^{-AD}$가 아래로 볼록해서 $D$가 퍼질수록 평균이 커진다.

윈도 방법으로 ln Y를 묶음 면적에 대해 그렸더니 점들이 직선 위에 놓이고, 면적 0으로 외삽한 절편이 ln 0.9였다. 가장 알맞은 해석은?

직선이면 군집이 약하다는 뜻이다(군집이 있으면 위로 휜다). 면적이 0인 다이는 무작위 결함에 맞지 않으므로, 절편에 남은 손실은 무작위 결함의 것이 아니다. 결함 밀도는 절편이 아니라 기울기에서 읽는다.

어느 로트의 수율이 88%에서 78%로 떨어졌다. 같은 로트의 인라인 검사 결함 밀도는 평소와 거의 같았다. 가장 먼저 세울 가설은?

무작위 결함만으로 설명하려면 $D_0$가 0.25에서 0.48로 올라야 하는데 검사 기록이 이를 부정한다. 남는 설명은 결함 밀도와 무관한 손실, 곧 계통 손실이다. 다만 검사가 보지 못하는 종류의 결함이 늘었을 가능성은 남아 있고, 그것을 확인하는 것이 뒤 장들의 일이다.

모델	밀도 분포 f(D)	수율 식	λ = 0.5	λ = 1	λ = 2	λ = 4
푸아송 Poisson	한 값(델타)	\(e^{-\lambda}\)	60.7%	36.8%	13.5%	1.8%
머피 Murphy	삼각	\(\left(\dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}\right)^{2}\)	61.9%	40.0%	18.7%	6.0%
음이항 α = 2 Negative binomial	감마	\(\left(1+\dfrac{\lambda}{\alpha}\right)^{-\alpha}\)	64.0%	44.4%	25.0%	11.1%
시즈 Seeds	지수 (감마 α = 1)	\(\dfrac{1}{1+\lambda}\)	66.7%	50.0%	33.3%	20.0%